LENGUAJE COTIDIANO MATEMATICO

El siguiente tema es el complemento de ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN N, lo que se busca es que el alumno logre desarrollar un lenguaje cotidiano, algebraico matemático para que pueda entender con mayor facilidad una ecuación en la vida diaria.
LENGUAJE COTIDIANO

Expresión en el lenguaje cotidiano Ecuación
* Un número más veinte es igual a cuarenta x + 20 = 40
* Un número menos doce es igual a cinco x – 12 = 5
* El doble de un número más cuatro es igual a catorce 2x + 4 = 14
* El doble de un número más el mismo número es igual
A nueve 2x + x = 9
* Dos más el triple de un número es igual a veintitrés 2 + 3x = 23
* Un número entre dos más diez es igual a veinte x/2 + 10 = 20
* Un número entre tres menos uno es igual a cinco x/3 – 1 = 5
* La suma de dos números consecutivos es igual a siete x + (x + 1) = 7
* El triple de un número menos ocho es igual a diez 3x – 8 = 10
* El doble de un número es igual a noventa y ocho 2x = 98
* El triple de un número es igual a ciento veintinueve 3x= 129

Ejercicios:
1) Un número que sumado con 25 es igual a 42.
Llamamos x al número desconocido:

X

De acuerdo con el enunciado, la ecuación que lo interpreta es:

X + 25 = 42

Se resuelve la ecuación:

X + 25 = 42
X + 25 – 25 = 42 – 25
X + 0 = 17
X = 17

Se verifica la solución

17 + 25 = 42

2) El doble de un número más el mismo número es igual a 18

Llamamos al doble 2x al número desconocido: 2x

De acuerdo con el enunciado, la ecuación que lo interpreta es:

2x + x = 18

Se resuelve la ecuación:

2x + x = 18
Sumamos 2x + x que dará como resultado 3x

3x = 18

Despejamos el tres que esta multiplicando a la (x) y pasa al otro lado de la igualdad dividiendo al 18

X = 18/3
X = 6

Se verifica:

2.6 + 6 = 18
12 + 6 = 18
18 = 18

Dinámica: Construir el lenguaje cotidiano.

El alumno tiene que construir el lenguaje cotidiano con los números asignados por el facilitador. Poco a poco se va familiarizando con las ecuaciones y estará listo para construir sus propias ecuaciones.

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS USANDO ECUACIONES

Para resolver un problema mediante ecuaciones, se deben tomar en cuenta los siguientes pasos:
1º Comprender el problema: un problema viene expresado a través de un enunciado.
2º Plantear la ecuación: la ecuación se plantea relacionando los datos con la incógnita.
3º Resolver la ecuación: obtener el valor numérico de la incógnita o variable.
4º Comprobar la solución: verificar que la solución satisface las condiciones del enunciado del problema.

Observa cómo se resuelven los siguientes problemas usando ecuaciones.
a) La suma de tres números naturales consecutivos es 93. ¿Cuáles son estos números naturales?

1º Comprender el problema.
Se quiere averiguar el valor de tres números naturales consecutivos, supongamos que se le asigna la variable x al menor de los tres números.

2º Plantear la ecuación.
Si x es el menor de los tres números entonces los otros dos serían x + 1 y x + 2, entonces la ecuación es:
x ( x + 1 ) + ( x + 2 ) = 93

3º Resolver la ecuación.
X + ( x + 1 ) + ( x + 2 ) = 93
3x + 3 = 93
3x + 3 – 3 = 93 – 3
3x = 90
3x = 90
3 3
X = 30

4º Comprobar la solución.
X + ( x + 1 ) + ( x + 2 ) = 93
30 + ( 30 + 1 ) + ( 30 + 2 ) = 93
30 + 31 + 32 = 93
93 = 93

Por lo tanto el menor de los tres números es x, es decir, 30; el segundo es x + 1 = 30 + 1 = 31, y el tercero sería x + 2 = 30 + 2 = 32.

b) El perímetro de un terreno rectangular es de 480m. Si su largo es el triple del ancho. ¿Cuánto mide el largo y el ancho?.

1º Comprender el problema.
Se quiere averiguar cuánto mide el largo y cuánto mide el ancho, supongamos que se le asigna la variable x al ancho del terreno.

2º Plantear la ecuación.
Como el perímetro es la suma del valor de los lados de una figura, observa lo que se realiza.
Según el enunciado:
Ancho = x
Largo = 3x
P = x + 3x + x + 3x
480 = x + 3x + x + 3x

3º Resolver la ecuación.
480 = x + 3x + x + 3x
480 = 8x
480 = 8x
8 8
60 = x è x = 60

4º Comprobar la solución.
480 = x + 3x + x + 3x
480 = 60 + 3.60 + 60 +3.60
480 = 60 + 180 + 60+ 180
480 = 480
Por lo tanto el ancho del terreno es 60 m, y como el largo es tres veces el ancho, entonces 3x = 3.60 = 180, es decir, el largo del terreno es de 180m.

c) José es cuatro años mayor que Eduardo. Si el doble de la edad que tiene Eduardo hoy será igual a la edad que tendrá José dentro de 5 años, ¿Qué edad tiene hoy cada uno de ellos?

1º Comprender el problema.
Se quiere averiguar qué edad tiene José y Eduardo, entonces inicialmente se determina la edad de uno de ellos, supongamos que se le asigna la variable x a la edad que tiene Eduardo hoy.

2º Plantear la ecuación.
La edad de José es la edad de Eduardo hoy más 4, es decir, ( x + 4 ).
El doble de la edad de Eduardo hoy = la edad que tiene José más cinco años 2x = ( x + 4 ) + 5

3º Resolver la ecuación.
2x = ( x + 4 ) + 5
2x = x + 9
2x – x = x – x + 9
X = 9

4º Comprobar la solución.
2x = ( x + 4 ) + 5
2.9 = ( 9 + 4) + 5
18 = 18
Por lo tanto la edad de Eduardo es de 9 años y la edad de José es x + 4 = 9 + 4, es decir, de 13 años. Dentro de 5 años José tendrá 18 años, que es precisamente el doble de la edad que tiene hoy Eduardo.

d) Cinco personas quieren comprar un equipo de sonido y pagarlo en partes iguales. Si hay una persona adicional, cada uno pagará 12000 bolívares menos, ¿Cuánto costará el quipo?

1º Comprender el problema.
Se quiere averiguar cuánto cuesta el equipo, para ello se debe saber cuanto dinero debe cancelar cada persona, entonces, se le asigna la variable x al dinero que debe cancelar cada persona.

2º Plantear la ecuación.
Cinco personas por el dinero que pagará cada una es igual a seis personas por el dinero que pagará cada una -12000, entonces la ecuación sería:
5x = 6. ( x – 12000)

3º Resolver la ecuación.
5x = 6 ( x – 12000 )
5x = 6x – 72000
5x + 72000 = 6x – 72000 + 72000
5x + 72000 = 6x
5x – 5x + 72000 = 6x – 5x
72000 = x

4º Comprobar la solución.
5x = 6. ( x – 12000 )
5. 72000 = 6. ( 72000 – 12000 )
360000 = 432000 – 72000
360000 = 360000
Por lo tanto, el quipo costará Bs. 360000, y si son 5 personas cada persona pagará Bs. 72000, y si son 6 personas cada una pagará x – 12000 = 72000 – 12000 = 60000, es decir, cada una pagará Bs. 60000.

Dinámica: Construir situaciones de la vida diaria.
El alumno se le asignara una serie de expresiones y deberá llevarlo al lenguaje algebraico, y después se le dará en el lenguaje algebraico y lo debe de llevar a su ecuación correspondiente.

ECUACION DE PRIMER GRADO EN N

Hola a todos (as), El tema que voy a desarrollar es ECUACION EN N, le será de mucha utilidad a los alumnos de 7 grado.

Observa las siguientes expresiones:
}

a) 6 + 7 = 13 b) 37 – 23 = 14

c) x + x = 2x d) x + 2 = 7

En todas estas expresiones aparece el signo igual (=) y se denominan igualdades.
Las expresiones a) y b) son igualdades numéricas, y las c) y d) son igualdades entre expresiones algebraicas, también llamadas igualdades algebraicas o igualdades literales.
Se llama expresión algebraicas a todas aquellas igualdades que tengan una incógnita en este caso es la letra x

. Hay igualdades algebraicas, como x + x = 2x, que son ciertas para cualquier valor que se le asigne a las letras o variables; a dichas igualdades se les llama identidades. Por ejemplo: en x + x = 2x, si x=3, al sustituirlo se obtiene la identidad 3 + 3 = 2.3; 6= 6, o si x = 4 se obtiene otra identidad, 8 = 8, entonces, fíjate que la variable x puede tener varios valores en la expresión x + x = 2x.
Sin embargo, existen otras igualdades que sólo son ciertas para algún valor de las variables, por ejemplo, x + 2 = 7, que sólo se cumple si x vale 5. Estas igualdades se llaman ecuaciones.

Dinámica: Construyendo igualdades:

Lo que se quiere de esta estrategia es que el alumno sea capaz de buscar y pensar cual será el numero que sumado con el 3 sea igual a 10, por curiosidad y ganas de saber cual es ese número utilizara el número que piensa que le dará correctamente. Esta es una buena forma de que el alumno construya su propio aprendizaje.
Ejemplo: x + 3 = 10

Una ecuación es una igualdad que involucra constantes y una o varios variables mediante operaciones, la cual se satisface para determinados valores de las variables. Las ecuaciones no son identidades.

Observamos las siguientes ecuaciones:
Los términos de una ecuación son todas y cada una de las expresiones que forman los miembros de la ecuación.
Los miembros de una ecuación son las expresiones que se encuentran a cada lado del signo igual (=).
Las variables en las ecuaciones son los valores desconocidos representados por letras (por lo general se representan con las últimas letras del alfabeto w, x, y, z). Y las constantes son los distintos números que aparecen en la igualdad.

Observa la siguiente ecuación:
términos

Variable o incógnita -----> X + 8 = 12

Primer miembro segundo miembro

En la ecuación mostrada x + 8 = 12:
- La variable es X.
- Las constantes son 8 y 12.
- Los términos son X, 8 y 12.
- El primer miembro es X + 8.
- El segundo miembro es 12.

En la ecuación x + 8 = 12, el máximo exponente de la incógnita es 1, por ello se dice que es una ecuación de primer grado.
La situación que se plantea en la ecuación x + 8 = 12 se puede leer así: “El valor de un número desconocido más ocho es igual doce”.

Reglas para resolver ecuaciones en N:

Si a los dos miembros de una ecuación se suman o se restan cantidades iguales, la solución de la ecuación no se altera.

Si los miembros de una ecuación se multiplican o se dividen por una misma cantidad, la solución no se altera.

Si los signos de todos los términos de una ecuación se cambian, la solución no se altera.

Ejercicios:
1) Resolver X + 24 = 87

En la ecuación dada se resta en ambos miembros de la igualdad el sumando que acompaña a la incógnita; así se obtiene:

X + 24 = 87
X + 24 – 24 = 87 – 24

Sumar y restar la misma cantidad es lo mismo que sumar cero.

X + 0 = 63

Se verifica la respuesta. I en la ecuación se remplaza a x por 18, la igualdad es verdadera:

X + 24 = 87
63 + 24 = 87

2) Resolver la ecuación x – 78 = 91

Se suma en los dos miembros de la igualdad el número 78.

X – 78 = 91
X – 78 + 78 = 91 + 78

Se aplica el mismo procedimiento del ejemplo anterior:

X + 0 = 169
X = 169

3) Resolver la ecuación 84 – x = 45

En esta ecuación la incógnita es el sustraendo.

84 – x = 45

Se suma la incógnita en ambos miembros de la igualdad.

84 – x + x = 45 + x
84 + 0 = 45 + x

Se transforma la ecuación en una forma ya conocida.

84 = 45 + x

Luego, se resuelve la ecuación:

84 = 45 + x
84 – 45 = 45 – 45 + x
39 = x

Hay situaciones planteadas en lenguaje cotidiano en las que se usan los números naturales, que se pueden expresar utilizando un lenguaje algebraico, es decir, mediante símbolos, números y signos. Para ello es importante leer el enunciado de la situación, identificar la variable y otros datos significativos. Fíjate en las siguientes situaciones y cómo se expresan utilizando una ecuación. continuara